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 Le nombre d'or

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Pomme golden
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Féminin Nombre de messages : 136
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MessageSujet: Le nombre d'or   Lun 2 Juin - 17:07

Le nombre d'or

Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre irrationnel :



Le nombre d'or dans l'art : mythe ou réalité ?


Les débuts du nombre d’or

Euclide l'appelle la proportion de moyenne et extrême raison. On peut considérer que les Pythagoriciens en font indirectement un symbole de leur secte en prenant pour emblème la figure géométrique qui lui est associée : le pentacle. Léonard de Pise le retrouve dans les suites qui portent son nom. Le moine mathématicien italien Luca Pacioli lui consacre un livre intitulé De divina proportione rédigé en 1498 avec la collaboration de Léonard de Vinci pour les figures. Johannes Kepler dit de lui

« La géométrie a deux grands trésors : l'un est le théorème de Pythagore; l'autre la division d'un segment en moyenne et extrême raison. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou. »

La "découverte" de sa présence presque parfaite dans le Parthénon construit par Phidias fait qu'on lui attribue la lettre φ comme nom. Cette proportion souvent considérée comme esthétique est étudiée ensuite par Charles Henry et Georges Seurat. Une exposition, ‘’la section d'or’’, lui est consacrée en 1912.

La contribution de Ghyka

Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit le nombre d'or partout : les spirales des coquillages, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales... mais aussi l'architecture ou la peinture. C'est lui qui popularise cette notion que les rectangles construits à partir du nombre d'or sont attrayants visuellement. Ghyka trouve en effet des approximations de φ par exemple dans des tableaux comme la Joconde.

Des travaux critiqués

* Ses mesures seraient approximatives. Il semble qu’il ne trouve qu’environ 1,6.
* Ses résultats sont trop souvent complexes. Selon ses détracteurs, il faut décortiquer dans tous les sens un portrait pour y trouver lesdites valeurs. Selon ses partisans, le nombre de ses découvertes dans une seule œuvre excuse la difficulté que l’on peut avoir à les retrouver.
* Certains poussent le raisonnement jusqu’à dire que ses résultats n’ont rien à voir avec une décomposition normale d’un tableau ou d’un monument.
Le personnage de Saint-Jérôme est-il judicieusement encadré par un rectangle d’or ?
Le personnage de Saint-Jérôme est-il judicieusement encadré par un rectangle d’or ?
* L'exemple du Parthénon, très populaire, serait ainsi biaisé : pour obtenir un vrai rectangle d'or, on ne prend pas la façade, mais la façade plus quelques marches pour avoir la bonne hauteur et donc le bon rapport ! De plus, pour les mesures effectuées avec le chapiteau, les détracteurs soulignent le fait que celui-ci étant écroulé, on n’en connaît pas la hauteur originale, ce à quoi les partisans répondent que prolonger sur un plan les droites formées par les morceaux restants suffit.
* L’exemple de la Grande Pyramide se baserait sur un récit d’Hérodote, mais quand on examine le texte en question on se rend compte qu'il ne comporte aucun détail mathématique de ce genre.
* L’exemple également assez répandu de Saint-Jérôme (détail du tableau éponyme de Léonard de Vinci) ne prouverait rien : le personnage est si mal encadré par le rectangle d’or (noté ici en bleu) que son bras droit n’y est pas inclus entièrement, prouvant ainsi malgré ses partisans que le nombre d’or n'a pas été utilisé par le peintre. Les partisans considèrent au contraire que la partie majeure du corps est bien enserrée dans le rectangle et que le bras compte bien moins que la masse formée par le corps accroupi.
* Nous pourrions ainsi multiplier les exemples, avec arguments et contre-arguments à l’appui.
* Ghyka travaillait sur des copies en noir et blanc des œuvres. Or un tableau, un monument, c'est bien plus qu'une construction géométrique. Ce sont des couleurs, des matières... L'attrait des spectateurs pour telle œuvre a probablement d’autres explications que l'existence prouvée ou non de rapports géométriques.


Nombre d'or et architecture

Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or en tant que tel en matière d'esthétique, il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des questions d'urbanisme plus que d'architecture.

Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle. Cependant, Marguerite Neveux rejette de tels hypothétiques tracés régulateurs.

L'architecte et urbaniste Le Corbusier lui consacre un essai en créant le Modulor. Il baptise ainsi ce système qu'il rêve de substituer au système métrique et qu'il utilisera dorénavant dans tous ses projets, comme la Cité radieuse de Marseille. C'est de très loin l'utilisation la plus clairement établie du nombre d'or, puisque Le Corbusier en a parlé sans ambiguïté.

Nombre d'or dans la nature


Certains affirment observer le nombre d'or dans l'implantation des feuilles sur la tige des plantes, ou des écailles dans la pomme de pin, ou d'une fleur de tournesol. La présence de la suite de Fibonacci pour ce type de croissance pourrait en effet expliquer ce phénomène.

En revanche, contrairement à une croyance encore tenace, on ne la trouve absolument pas dans la coquille du nautile. En effet, si la spirale du nautile semble bien de forme logarithmique (ce qui se conçoit bien comme première approximation d'une croissance), le rapport est en revanche "seulement" de 1,3 ce qui est bien trop éloigné du nombre d'or. De plus, aucun raisonnement scientifique ne permet jusqu'à présent de prouver ou justifier la présence du nombre d'or.

Certains pensent le découvrir dans la spirale d'ADN, dans la forme d'un œuf, dans les quasi-cristaux ... Vaste domaine de recherche.

Nombres d’or en astronomie

En astronomie, on appelle nombre d’or, le rang d’une année dans le cycle de Méton qui comporte 19 années et permet de faire coïncider à quelques heures près cycles lunaires et cycles solaires. Il existe alors 19 nombres d’or (de 1 à 19) et chaque année possède son nombre d’or. Mais ces nombres d’or n’ont aucun rapport avec le nombre φ étudié précédemment.

On le calcule ainsi :

* diviser l’année par 19 (par exemple pour 2007, 2007 / 19 ≈ 105,6 que l’on tronque à 105) ;
* prendre le reste de la division précédente (105 × 19 = 1995 au lieu de 2007, il reste donc 12 années) ;
* ajouter 1 (12 + 1 = 13) : l’année 2007 a donc pour nombre d’or 13.

Cette règle restera valable tant que le cycle métonique de 19 ans (légèrement trop long d’un peu moins d’une heure et demie) ne sera pas corrigé pour tenir compte de l’avance de ce cycle de près d’un jour au bout d’un peu plus de 16 cycles (soit 310 ans selon les observations actuelles du cycle lunaire). Certains ont proposé de ne pas toucher à ce cycle métonique traditionnel ou au calcul du nombre d’or lui-même, mais d’introduire plutôt un autre cycle apportant les jours supplémentaires de correction des lunaisons à appliquer à un ensemble donné de 16 cycles ; d'autres défendent la modification de la formule du nombre d’or.

Voir aussi le calendrier lunaire perpétuel ou le calcul de la date de Pâques pour connaître son contexte.

Le Cycle de Méton, découvert par l'astronome du même nom, a été révélé en 453 av JC lors des Jeux Olympiques, et les Athéniens, conscients de l'importance d'une telle découverte pour améliorer le calendrier de l'époque, ont fait graver ce cycle en lettres d'or sur un temple dédié à Minerve. C'est de là que vient l'expression nombre d'or pour désigner le rang d'une année dans le cycle de Méton, et par extension, le cycle lui-même.

Source et dossier complet :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or
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MessageSujet: Re: Le nombre d'or   Jeu 19 Juin - 2:11

Précisions concernant la suite de Fibonacci, à propos du nombre d’or (Nombre d’or dans la nature) :
Voici les nombres de la suite de Fibonacci : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ..., dont chaque terme à partir du 3ème est la somme des deux précédents (par exemple, ici, le terme suivant sera 13 + 21 = 34).
En calculant les valeurs approchées des quotients de deux nombres successifs de la suite de Fibonacci, on trouve :
1/1= 1 ; 2/1= 2 ; 3/2 = 1,5 ; 5/3 = 1,666... ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,615... ; 34/21 = 1,619... ; 55/34 = 1,617... ; 89/55 = 1,618......
En effet, en prenant le quotient de deux nombres successifs de plus en plus «éloignés» dans la suite de Fibonacci, on tend à se rapprocher du nombre d’or :
........1 + √5
φ= ---------
...........2

= 1,618...
La suite de Fibonacci s’est rendue célèbre par ses représentations multiples en relation avec ce nombre mythique.
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MessageSujet: Re: Le nombre d'or   Jeu 19 Juin - 14:50

Si le nombre d'or faut le réveillé lol! lol! lol!
Bon ok je sort Cool

Sinon voila un site qui parle du nombre d'or :
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
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MessageSujet: Re: Le nombre d'or   Jeu 19 Juin - 15:37

lol! HC !!!!
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MessageSujet: Re: Le nombre d'or   Aujourd'hui à 19:01

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